Question

【題目】如圖，任意四邊形ABCD各邊中點分別是E，F，G，H，若對角線AC=BD ，判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由。

Answer 1

【答案】菱形，理由見解析

【解析】

由E和F分別為AB與BC的中點，得到EF為三角形ABC的中位線，即EF平行AC且EF=AC，同理得到HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF與HG平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到HEFG為平行四邊形，再由EH等于BD的一半，EF等于AC的一半，且BD=AC，得到鄰邊EH=EF，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

∵E、F分別為AB、BC的中點，

∴EF為△ABC的中位線，

∴EF=AC，EF∥AC，

∵H、G分別為AD、DC的中點，

∴HG為△ADC的中位線，

∴HG=AC，HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG，

∴四邊形HEFG為平行四邊形，

又E、H分別為AB、AD的中點，

∴EH為△ABD的中位線，

∴EH=BD，

∵AC=BD，

∴EF=EH，

則四邊形HEFG為菱形．