Question

（10分））如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙0的切線;

（2）如果⊙0的半徑為9，sin∠ADE=，求AE的長．

Answer 1

(1)見解析；(2)AE=.

【解析】

試題分析：：（1）連結(jié)OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=，然后由OD∥AE，

得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF

試題解析：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，

∵AB為⊙0的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切線；

∵∠DAC=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=，而AB=18，

∴AD=14，

在Rt△ADE中，sin∠ADE=，

∴AE=.

考點：切線的判定；圓周角定理.