【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,,將矩形沿折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P從O出發(fā),沿折線方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,的面積為S,求S與t的關(guān)系式,直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)E(10,6);(2)S= -8t+54(0≤t≤3)或S=-6t+48(3<t≤8);(3)存在, Q(14.4,-4.8)或(18.4,-4.8).
【解析】
(1)設(shè)AE=x,根據(jù)勾股定理列方程得:(18-x)2+62=x2,解出可得結(jié)論;
(2)分兩種情況:P在OA或AE上,分別根據(jù)三角形面積列式即可;
(3)先根據(jù)分別計(jì)算PA和PE的長(zhǎng),如圖4,過(guò)G作GH⊥OC于H,設(shè)OF=y,根據(jù)勾股定理列方程可得y的值,利用面積法計(jì)算GH的長(zhǎng),得G的坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移規(guī)律可得Q的坐標(biāo).
解:(1)如圖1,矩形ABCO中,B(18,6),
∴AB=18,BC=6,
設(shè)AE=x,則EC=x,BE=18-x,
Rt△EBC中,由勾股定理得:EB2+BC2=EC2,
∴(18-x)2+62=x2,
x=10,
即AE=10,
∴E(10,6);
(2)分兩種情況:
①當(dāng)P在OA上時(shí),0≤t≤3,如圖2,
S=S矩形OABC-S△PAE-S△BEC-S△OPC,
=18×6-×10(6-2t)-×8×6-×18×2t,
=-8t+54,
②當(dāng)P在AE上時(shí),3<t≤8,如圖3,
S=PEBC=×6×(162t)=3(16-2t)=-6t+48;
(3)存在,由PA=PE可知:P在AE上,如圖4,過(guò)G作GH⊥OC于H,
∵AP+PE=10,
∴AP=6,PE=4,
設(shè)OF=y,則FG=y,FC=18-y,
由折疊得:∠CGF=∠AOF=90°,
由勾股定理得:FC2=FG2+CG2,
∴(18-y)2=y2+62,
y=8,
∴FG=8,FC=18-8=10,
FCGH=FGCG,
×10×GH=×6×8,
GH=4.8,
由勾股定理得:FH==6.4,
∴OH=8+6.4=14.4,
∴G(14.4,-4.8),
∵點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,且PE=4,
∴Q(14.4,-4.8)或(18.4,-4.8).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 cm,△PMN是一塊直角三角板(∠N=30°),PM>2 cm,PM與BC均在直線l上,開始時(shí)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合,將三角板向右平行移動(dòng),直至M點(diǎn)與C點(diǎn)重合為止.設(shè)BM=x cm,三角板與正方形重疊部分的面積為y cm2.
下列結(jié)論:
①當(dāng)0≤x≤時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y= x2;
②當(dāng)時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-;
③當(dāng)MN經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí),y= (cm2);
④存在x的值,使y= S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面積).
其中正確的是______(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰直角三角形ABC,AB=BC,直角頂點(diǎn)B在直線PQ上,且AD⊥PQ于D,CE⊥PQ于E.
(1)△ADB與△BEC全等嗎?為什么?
(2)圖1中,AD、DE、CE有怎樣的等量關(guān)系?說(shuō)明理由.
(3)將直線PQ繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,其他條件不變,那么AD、DE、CE有怎樣的等量關(guān)系?直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘漁船正以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚群,在A處看見小島C在船的北偏東60°方向上,40分鐘后,漁船行至B處,此時(shí)看見小島C在漁船的北偏東30°方向上.
(1)求A處與小島C之間的距離;
(2)漁船到達(dá)B處后,航行方向不變,當(dāng)漁船繼續(xù)航行多長(zhǎng)時(shí)間時(shí),才能與小島C的距離最短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,作△OAB,其中三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,y均為整數(shù)),則所作△OAB為直角三角形的概率是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩“石頭、剪刀、布”的游戲,他們?cè)诓煌该鞯拇又蟹湃胄螤睿笮【嗤?/span>15張卡片,其中寫有“石頭”、“剪刀”、“布”的卡片數(shù)分別為3、5、7張,兩人各隨機(jī)摸出一張卡片(先摸者不放回)來(lái)比勝負(fù),并約定“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,“布”勝“石頭”,同種卡片不分勝負(fù).
(1)若甲先摸,則他摸出“石頭”的概率是多少?
(2)若甲先摸出“石頭”,則乙獲勝的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的兩個(gè)外角∠CBE,∠CDF的平分線交于點(diǎn)G,若∠A=52°,∠DGB=28°,則∠DCB的度數(shù)是( 。
A. 152°B. 128°C. 108°D. 80°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.
(1)求證:△AEF∽△ABC;
(2)求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng);
(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少?
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