Question

《導(dǎo)學(xué)新作業(yè)》中有如下一道幾何題目：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）小明冥思苦想許久而不得解，只好去問(wèn)老師．老師給他分析了如下的思路．

根據(jù)上述思路，小明終于會(huì)證明了．請(qǐng)你完整地書(shū)寫(xiě)本題的證明過(guò)程．
（2）證明完后，老師又提出了如下問(wèn)題讓小明解答：若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可．
（2）求出∠A=∠C=45°，∠ABP=∠3=∠4，根據(jù)AAS證出△ABP≌△CPD即可．

解答：（1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠3=∠4 ∠BOP=∠PED BP=PD

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∠A=∠C ∠ABP=∠4 PB=PD

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．