Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的頂點A、C在坐標(biāo)軸上運動，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當(dāng)A（0，-2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標(biāo)為

 

；
（2）如圖2，當(dāng)點C在x軸正半軸上運動，點A在y軸正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷

OC+BD

OA

與

OC-BD

OA

哪一個是定值，并說明定值是多少？請證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，當(dāng)點C在y軸正半軸上運動，點A在x軸正半軸上運動，使點D恰為BC的中點，連接DE，求證：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）作BD⊥CD，易證△OAC≌△DCB，即可解題；
（2）作BE⊥OC，易證OAC≌△ECB，可求得OC=AO+BD，即可解題；
（3）過點B作BG⊥BC交y軸于點G，易證△BCG≌△CAD，可得BG=BD，進(jìn)而可以求證△DBE≌△GBE，可得∠BDE=∠BGE，即可解題．

解答：解：（1）作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵在△OAC和△DCB中，

∠AOC=∠CDB ∠OAC=∠DCB AC=BC

，
∴△OAC≌△DCB，（AAS）
∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，
∴B點坐標(biāo)為（3，-1）；
（2）作BE⊥OC，則四邊形ODBE為矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∵△OAC和△ECB中，

∠AOC=∠CEB ∠OAC=∠ECB AC=BC

，
∴△OAC≌△ECB，（AAS）
∴EC=OA，
∵四邊形ODBE為矩形，
∴OE=BD，
∵OC=OE+EC，
∴OC=AO+BD，
∴

OC-BD

OA

存在定值，且為1；
（3）過點B作BG⊥BC交y軸于點G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO．
在△BCG和△CAD中，

∠DCO=∠CAO BC=AC ∠CBG=∠ACD=90°

，
∴△BCG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD=BD．
∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EBG=∠DBE=45°，
在△DBE和△GBE中，

BD=BG ∠DBE=∠GBE BE=BE

，
∴△DBE≌△GBE（SAS），
∴∠BDE=∠BGE，
∵∠BCG+∠BGE=90°，∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠BGE=∠ADC，
∴∠ADB=∠CDE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中每一問都找出全等三角形并求證是解題的關(guān)鍵．