Question

【題目】如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C、A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直于直線(xiàn)OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線(xiàn)上？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+；（2）S=t2（0＜t≤2）；S=t-1（2＜t≤3）；S=﹣t2+4t﹣（3＜t＜4）；（3）存在；t=1或2；

【解析】

（1）設(shè)出此拋物線(xiàn)的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由與t的取值范圍不能確定，故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)0<t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出其面積；
②當(dāng)2<t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S梯形OAGP，由梯形的面積公式即可求解；
③當(dāng)3<t<4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．
因?yàn)?/span>△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN，進(jìn)而可求出答案；
（3）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可求出t的值．

（1）方法一：由圖象可知：拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

把A（1，1），B（3，1）代入上式得：

，

解得．

∴所求拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x．

方法二：∵A（1，1），B（3，1），

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2．

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x﹣2）2+h（a≠0）

把O（0，0），A（1，1）代入

得，

解得，

∴所求拋物線(xiàn)解析式為y=﹣（x﹣2）2+．

（2）分三種情況：

①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵A（1，1），

∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=tcos 45°=t．S=t2，

②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，

則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP．

∴AG=FH=t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．

③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．

因?yàn)椤?/span>PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=t，

∴PC=CN=t﹣3，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2，

S=﹣t2+4t﹣．

（3）存在．

當(dāng)O點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，將O（t，t）代入拋物線(xiàn)解析式，解得t=0（舍去），t=1；

當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，Q（t， t）代入拋物線(xiàn)解析式得t=0（舍去），t=2．

故t=1或2．

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