Question

【題目】在自習(xí)課上，小明拿來(lái)如下框的一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流．

如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB，BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系．

小紅同學(xué)的思路是：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解．

小華同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．

請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決以下問題：

（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系為　 ．

（2）如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）DF＝EF；（2）不發(fā)生變化，理由見解析

【解析】

（1）結(jié)論：DF＝EF．只要證明△DFG≌△EFB（AAS）即可解決問題；

（2）猜想：DF＝FE．過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．由Rt△DBG≌Rt△BAC（HL），推出DG＝BC，再證明△DFG≌△EFB（AAS）即可解決問題；

解：（1）結(jié)論：DF＝EF．

理由：作DG⊥AB于G．

∵∠DBG＝∠CBE＝45°，∠DGB＝∠BEC＝90°，DB＝BC，

∴△DBG≌△BCE（AAS），

∴GD＝BE，

∵∠DGB＝∠GBE＝90°，

∴DG∥BE，

∴∠FDG＝∠BEF，

∵∠DFG＝∠BFE，

∴△DFG≌△EFB（AAS），

∴DF＝EF．

故答案為DF＝EF．

（2）猜想：DF＝FE．

理由：過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．

∵DA＝DB，∠ADB＝60°．

∴AG＝BG，△DBA是等邊三角形，

∴DB＝BA，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝BG，

在Rt△DBG和Rt△BAC中，

∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL），

∴DG＝BC，

∵BE＝EC，∠BEC＝60°，

∴△EBC是等邊三角形，

∴BC＝BE，∠CBE＝60°，

∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

在△DFG和△EFB中，

∴△DFG≌△EFB（AAS），

∴DF＝EF．