【題目】在自習(xí)課上,小明拿來(lái)如下框的一道題目(原問題)和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流.
如圖1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分別以AB,BC為邊向外作△ABD與△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點(diǎn)F.探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.
小紅同學(xué)的思路是:過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,構(gòu)造全等三角形,通過推理使問題得解.
小華同學(xué)說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路,探究并解決以下問題:
(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明.
【答案】(1)DF=EF;(2)不發(fā)生變化,理由見解析
【解析】
(1)結(jié)論:DF=EF.只要證明△DFG≌△EFB(AAS)即可解決問題;
(2)猜想:DF=FE.過點(diǎn)D作DG⊥AB于G,則∠DGB=90°.由Rt△DBG≌Rt△BAC(HL),推出DG=BC,再證明△DFG≌△EFB(AAS)即可解決問題;
解:(1)結(jié)論:DF=EF.
理由:作DG⊥AB于G.
∵∠DBG=∠CBE=45°,∠DGB=∠BEC=90°,DB=BC,
∴△DBG≌△BCE(AAS),
∴GD=BE,
∵∠DGB=∠GBE=90°,
∴DG∥BE,
∴∠FDG=∠BEF,
∵∠DFG=∠BFE,
∴△DFG≌△EFB(AAS),
∴DF=EF.
故答案為DF=EF.
(2)猜想:DF=FE.
理由:過點(diǎn)D作DG⊥AB于G,則∠DGB=90°.
∵DA=DB,∠ADB=60°.
∴AG=BG,△DBA是等邊三角形,
∴DB=BA,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴AC=AB=BG,
在Rt△DBG和Rt△BAC中,
∴Rt△DBG≌Rt△BAC(HL),
∴DG=BC,
∵BE=EC,∠BEC=60°,
∴△EBC是等邊三角形,
∴BC=BE,∠CBE=60°,
∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°,
在△DFG和△EFB中,
∴△DFG≌△EFB(AAS),
∴DF=EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0)、B(﹣3,3),頂點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,則是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列從左邊到右邊的變形,是因式分解的是( 。
A.y﹣5y﹣6=(y﹣6)(y+1)B.a+4a﹣3=a(a+4)﹣3
C.x(x﹣1)=x﹣xD.m+n=(m+n)(m﹣n)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有些數(shù)學(xué)題,表面上看起來(lái)無(wú)從下手,但根據(jù)圖形的特點(diǎn),可補(bǔ)全成為特殊的圖形,然后根據(jù)特殊幾何圖形的性質(zhì)去考慮,常常可以獲得簡(jiǎn)捷解法.根據(jù)閱讀,請(qǐng)解答問題:如圖所示,已知△ABC的面積為16cm2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于點(diǎn)D,則△ADC的面積為___________cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀與思考
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類多項(xiàng)式,如何將這種類型的式子分解因式呢?
我們通過學(xué)習(xí),利用多項(xiàng)式的乘法法則可知:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,因式分解是整式乘法相反方向的變形,利用這種關(guān)系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用這個(gè)結(jié)果可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式,例如,將x2﹣x﹣6分解因式.這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)﹣6=2×(﹣3),一次項(xiàng)系數(shù)﹣1=2+(﹣3),因此這是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3).
上述過程可用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;再分解常數(shù)項(xiàng),分別寫在十字交叉線的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項(xiàng)系數(shù),如圖所示.
這樣我們也可以得到x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3).這種分解二次三項(xiàng)式的方法叫“十字相乘法”.
請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察,分析理解后,解答下列問題:
(1)分解因式:y2﹣2y﹣24.
(2)若x2+mx﹣12(m為常數(shù))可分解為兩個(gè)一次因式的積,請(qǐng)直接寫出整數(shù)m的所有可能值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋子中放有除顏色外完全相同的5個(gè)小球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)白球,一次從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球均為白球的概率為__
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校積極開展“陽(yáng)光體育”活動(dòng),共開設(shè)了跳繩、足球、籃球、跑步四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.為了解學(xué)生最喜愛哪一種項(xiàng)目,童威隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并繪制了如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖(部分信息未給出)
(1)本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“跑步”所對(duì)的圓心角為 度.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全校最喜愛籃球的人數(shù)比最喜愛足球的人數(shù)多多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在中,,,,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)時(shí),的面積是___________;
(2)如圖(2)當(dāng)t為何值時(shí),AP平分;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,且,圖象上有一點(diǎn)在軸下方,對(duì)于以下說法:
①;②是方程的解;③;
④.其中正確的是________.
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