Question

已知關于x的方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0．

（1）求證：無論m取任何實數，該方程總有實數根；

（2）若m≠0，拋物線y=mx2﹣3（m+1）x+2m+3與x軸的交點到原點的距離小于2，且交點的橫坐標是整數，求m的整數值．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）m的值為﹣1或1．

【解析】

試題分析：（1）先分兩種情況討論，當m=0時方程的解為1和當m≠0時，△=b2-4ac=m+2）2≥0有實數根，得出無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）對于拋物線解析式，令y=0，表示出x，根據拋物線與x軸交點的橫坐標都是整數，根據x的范圍即可確定出m的整數值．

【解析】
（1）當m=0時，方程為-3x+3=0，x=1，此一元一次方程有實根，

當m≠0時，∵方程有實數根，

∴△≥0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）=（m+3）2≥0，

則m取任何值方程都有實數根；

（2）設y=0，則mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0．

∵△=（m+3）2，

∴x=，

∴x1=，x2=1，

當x1=是整數時，可得m=1或m=﹣1或m=3，

∵|x|＜2，m=3不合題意舍去，

∴m的值為﹣1或1．

考點：1.拋物線與x軸的交點；2.一元一次方程的解；3.根的判別式．