Question

【題目】如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．

（1）求證：EB＝GD；

（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）GD＝．

【解析】

（1）用SAS證明△AEB≌△AGD即可得到EB＝GD；

（2）連接BD.由（1）可知，求出EB即可得到GD的長.依次求出BP、AP、EP的長即可解決問題.

（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG＝∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB＝∠GAD，

∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，

∴AE＝AG，AB＝AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB＝GD；

（2）解：連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，

∵∠DAB＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴BP＝AB＝1，

AP＝＝，AE＝AG＝，

∴EP＝2，

∴EB＝＝＝，

∴GD＝．