提出問題:如圖1,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上,一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊交邊DC與點(diǎn)E,求證:PB=PE
分析問題:學(xué)生甲:如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N通過證明兩三角形全等,進(jìn)而證明兩條線段相等.
學(xué)生乙:連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過“等角對(duì)等邊”證明PE=PD,就可以證明PB=PE了.
解決問題:請(qǐng)你選擇上述一種方法給予證明.
問題延伸:如圖3,移動(dòng)三角板,使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上,一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,PB=PE還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
解決問題:證明見解析;問題延伸:成立,證明見解析.
【解析】
試題分析:對(duì)于圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,則四邊PMCN為矩形,根據(jù)角平分線性質(zhì)得PM=PN,根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN,然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN,則PB=PE;
對(duì)于圖2,連結(jié)PD,根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,CA平分∠BCD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠BCP=∠DCP,再根據(jù)“SAS”證明△CBP≌△CDP,則PB=PD,∠CBP=∠CDP,根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBC=∠PED,則∠PED=∠PDE,所以PD=PE,于是得到PB=PD;
對(duì)于圖3,過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,得到四邊PMCN為矩形,PM=PN,則∠MPN=90°,利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN,然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN,所以PB=PE.
試題解析:證明:如圖1,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
∵PM⊥BC,PN⊥CD,
∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠PBC+∠CEP=180°,
而∠CEP+∠PEN=180°,
∴∠PBM=∠PEN,
在△PBM和△PEN中
∴△PBM≌△PEN(AAS),
∴PB=PE;
如圖2,連結(jié)PD,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD,
∴∠BCP=∠DCP,
在△CBP和△CDP中
,
∴△CBP≌△CDP(SAS),
∴PB=PD,∠CBP=∠CDP,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠PBC+∠CEP=180°,
而∠CEP+∠PEN=180°,
∴∠PBC=∠PED,
∴∠PED=∠PDE,
∴PD=PE,
∴PB=PD;
如圖3,PB=PE還成立.
理由如下:過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
∵PM⊥BC,PN⊥CD,
∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,
∴∠MPN=90°,
∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,
∴∠BPM+∠MPE=90°,
而∠MEP+∠EPN=90°,
∴∠BPM=∠EPN,
在△PBM和△PEN中
,
∴△PBM≌△PEN(AAS),
∴PB=PE.
考點(diǎn):四邊形綜合題.
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(1)以上三個(gè)命題是真命題的為(直接作答) ;
(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明(先寫出所選命題,然后證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省中山市八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
對(duì)于函數(shù)y=-3x+1,下列結(jié)論正確的是( )
A.它的圖像必經(jīng)過點(diǎn)(-1,3)
B.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
C.當(dāng)x>時(shí),y<0
D.y的值隨x值的增大而增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東揭陽揭西縣八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,-2),B(a,2),則a的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東揭陽揭西縣八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下列句子中是命題的是( 。
A.寬闊的大! B.美麗的天空
C.負(fù)數(shù)都小于零 D.你的作業(yè)做完了嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省孝義市八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山西省孝義市八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東新泰龍廷鎮(zhèn)中心學(xué)校八年級(jí)下第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
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A. cm B.4cm C.cm D.cm
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