提出問題:如圖1,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上,一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊交邊DC與點(diǎn)E,求證:PB=PE

分析問題:學(xué)生甲:如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N通過證明兩三角形全等,進(jìn)而證明兩條線段相等.

學(xué)生乙:連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過“等角對(duì)等邊”證明PE=PD,就可以證明PB=PE了.

解決問題:請(qǐng)你選擇上述一種方法給予證明.

問題延伸:如圖3,移動(dòng)三角板,使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上,一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,PB=PE還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

 

 

解決問題:證明見解析;問題延伸:成立,證明見解析.

【解析

試題分析:對(duì)于圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,則四邊PMCN為矩形,根據(jù)角平分線性質(zhì)得PM=PN,根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN,然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN,則PB=PE;

對(duì)于圖2,連結(jié)PD,根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,CA平分∠BCD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠BCP=∠DCP,再根據(jù)“SAS”證明△CBP≌△CDP,則PB=PD,∠CBP=∠CDP,根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBC=∠PED,則∠PED=∠PDE,所以PD=PE,于是得到PB=PD;

對(duì)于圖3,過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥BC,PN⊥CD,得到四邊PMCN為矩形,PM=PN,則∠MPN=90°,利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN,然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN,所以PB=PE.

試題解析:證明:如圖1,

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,

∵PM⊥BC,PN⊥CD,

∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,

∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,

∴∠PBC+∠CEP=180°,

而∠CEP+∠PEN=180°,

∴∠PBM=∠PEN,

在△PBM和△PEN中

∴△PBM≌△PEN(AAS),

∴PB=PE;

如圖2,連結(jié)PD,

∵四邊形ABCD為正方形,

∴CB=CD,CA平分∠BCD,

∴∠BCP=∠DCP,

在△CBP和△CDP中

,

∴△CBP≌△CDP(SAS),

∴PB=PD,∠CBP=∠CDP,

∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,

∴∠PBC+∠CEP=180°,

而∠CEP+∠PEN=180°,

∴∠PBC=∠PED,

∴∠PED=∠PDE,

∴PD=PE,

∴PB=PD;

如圖3,PB=PE還成立.

理由如下:過點(diǎn)P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分別為M,N,

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,

∵PM⊥BC,PN⊥CD,

∴四邊PMCN為矩形,PM=PN,

∴∠MPN=90°,

∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,

∴∠BPM+∠MPE=90°,

而∠MEP+∠EPN=90°,

∴∠BPM=∠EPN,

在△PBM和△PEN中

,

∴△PBM≌△PEN(AAS),

∴PB=PE.

考點(diǎn):四邊形綜合題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)以上三個(gè)命題是真命題的為(直接作答) ;

(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明(先寫出所選命題,然后證明)

 

 

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A.它的圖像必經(jīng)過點(diǎn)(-1,3)

B.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限

C.當(dāng)x>時(shí),y<0

D.y的值隨x值的增大而增大

 

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A. cm    B.4cm C.cm  D.cm

 

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