Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△DEF的頂點(diǎn)D為△ABC的一邊BC的中點(diǎn)，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，且邊DF、DE始終分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)H、G.圖中直線BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線BC成軸對(duì)稱(chēng).連結(jié)HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分別交BC于點(diǎn)I、J.

（1）求證：△DHB∽△GDC；

（2）設(shè)CG=x，四邊形HH′G′G的面積為y，

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；

②求當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①y=（+x）（4--）（1≤x≤4）；②x=2，y最大=4.

【解析】

試題分析：此題是幾何變換綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定以及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，用x表示線段是解決本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．

（1）由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系，即可；

（2）由相似三角形得到=，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)，表示出相關(guān)的線段，四邊形HH′G′G的面積為y求出即可．

試題解析：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC；

（2）①∵D為BC的中點(diǎn),

∴BD=CD=2,

由△DHB∽△GDC,

∴=，即=,

得BH=,

∵H，H′和G，G′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC,

∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=,

在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，

∴HH′=2HI=，GG′=2GJ=x，IJ=4--,

∴y=（+x）（4--）（1≤x≤4）,

②由①得，y=+2（+x）,

設(shè)+x=a，得y=-a2+2a,

當(dāng)a=4時(shí)，y最大=4,

此時(shí)+x=4，解得x=2.