Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；

（3）若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）.

【解析】

(1)連接OA、OD,如圖,利用垂徑定理的推論得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到

∠CAF= ∠CFA,然后利用角度的代換可證明∠OAD+∠CAF=,則OA⊥AC,從而根據

切線的判定定理得到結論;

(2)設⊙0的半徑為r,則OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到

,然后解方程即可;

(3)先證明△BOD為等腰直角三角形得到OB=,則OA=,再利用圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=,則∠AOE=,接著在Rt△OAC中計算出AC,然后用一個直角三角形的面積減去一個扇形的面積去計算陰影部分的面積.

（1）證明：連接OA、OD，如圖，

∵D為BE的下半圓弧的中點，

∴OD⊥BE，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則OF=8﹣r，

在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），

即⊙O的半徑為6；

（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，

∴△BOD為等腰直角三角形，

∴OB=BD=，

∴OA=，

∵∠AOB=2∠ADB=120°，

∴∠AOE=60°，

在Rt△OAC中，AC=OA=，

∴陰影部分的面積=﹣=．