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【題目】如圖,拋物線Ly=﹣x2+bx+c經過坐標原點,與它的對稱軸直線x2交于A點.

1)直接寫出拋物線的解析式;

2)⊙Ax軸相切,交y軸于B、C點,交拋物線L的對稱軸于D點,恒過定點的直線ykx2k+8k0)與拋物線L交于M、N點,AMN的面積等于2,試求:

①弧BC的長;

k的值.

【答案】(1)y=﹣x2+4x.(2)①;②k=

【解析】

1)由拋物線的對稱軸為直線x2及拋物線過原點,即可得出關于bc的方程組,解之即可求出b,c的值,進而可得出拋物線的解析式;

2連接AB,AC,過點AAEBC于點E,利用配方法可求出點A的坐標,進而可得出A的半徑,在RtABE中,由AEAB可得出∠ABE30°,進而可得出∠BAE60°,由ABAC可得出∠BAC120°,再利用弧長公式可求出弧BC的長;

由點A的坐標及A的半徑可得出點D的坐標,將x2代入ykx2k+8中可得出直線ykx2k+8過點D,延長NM,交直線x2于點D,過點AAFx軸,交DM于點F,過點AAPDM于點P,在RtADF中,利用面積法可求出AP的長度,聯立直線MN和拋物線的解析式成方程組,通過解方程組可求出點MN的坐標,利用兩點間的距離公式可求出MN的長度,再利用三角形的面積公式結合△AMN的面積等于2,可得出關于k的方程,解之即可得出結論.

解:(1)依題意,得:,

解得:

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x

2)①連接AB,AC,過點AAEBC于點E,如圖1所示.

y=﹣x2+4x=﹣(x22+4,

∴點A的坐為(2,4),

ABAC4

RtABE中,AB4,AE2,

AEAB,

∴∠ABE30°

∴∠BAE60°

ABAC,

∴∠BAE=∠CAE,

∴∠BAC120°

×2πABπ

②∵點A的坐為(2,4),AD4,

∴點D的坐標為(2,8).

ykx2k+8kx2+8

∴當x2時,ykx2k+88

∴直線ykx2k+8過點D

延長NM,交直線x2于點D,過點AAFx軸,交DM于點F,過點AAPDM于點P,如圖2所示.

y4時,kx2k+84

解得:x2,

∴點F的坐標為(2,4).

RtADF中,AD4AF=﹣,

DF,

AP

聯立直線MN和拋物線的解析式成方程組,得:,

解得:,,

∴點M的坐標為(),點N的坐標為(,),

MN,

SAMNAPMN2,即××2,

k2161,

解得:k1=-,k2(舍去),

k的值為-

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