Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根（OA＞OB）．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）求直線BC的解析式．
（3）在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的長度，過點(diǎn)D作DE⊥y于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角邊”證明△DAE和△ABO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，同理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，△PCD為等腰三角形；點(diǎn)P為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)時，△PCD為等腰三角形，然后求解即可．

解答：解：（1）x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
過D作DE⊥y于點(diǎn)E，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
在△DAE和△ABO中，

∠ABO=∠DAE ∠AED=∠AOB=90° AB=AD

，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；

（2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，
同上可證得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
代入B（3，0），C（7，3）得，

7k+b=3 3k+b=0

，
解得

k= 3 4 b=- 9 4

，
∴y=

3

4

x-

9

4

；

（3）存在，如圖，
點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，P₁（3，0），
點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C對稱時，P₂（11，6）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，（1）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．