Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的邊AB垂直與x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB相交于點(diǎn)D，OB=4，AD=3，

（1）求反比例函數(shù)y= 的解析式；
（2）求cos∠OAB的值；
（3）求經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，m）（m＞0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3+m），

∵點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2， ）．

∵點(diǎn)C、點(diǎn)D均在反比例函數(shù)y= 的函數(shù)圖象上，

∴ ，解得： ．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

（2）

解：∵m=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），

∴OB=4，AB=4．

在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，

∴OA= =4 ，cos∠OAB= =

（3）

解：∵m=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1）．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，

則有 ，解得： ．

∴經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=﹣ x+3

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，m）（m＞0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3+m），由點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)C、D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）由m的值，可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可得出線段OB、AB的長度，通過解直角三角形即可得出結(jié)論；（3）由m的值，可找出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)出過點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解直角三角形以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是（1）由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于k、m的二元一次方程組（2）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，但考查的知識點(diǎn)較多，解決該題型題目時，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出方程組，通過解方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．