Question

如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是BC邊上的中線，EF是AD的垂直平分線，交AB于點E，交AC于點F，求AE：BE的值．

Answer 1

考點：勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：連結(jié)DE．設(shè)BD=k，BE=x，則DC=k，AB=2k，AE=2k-x．先由勾股定理得出DE²=BD²+BE²=k²+x²，再由EF是AD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=DE，即（2k-x）²=k²+x²，解方程求出x=

3

4

k，于是BE=

3

4

k，AE=

5

4

k，進而得到AE：BE的值．

解答：解：連結(jié)DE．設(shè)BD=k，BE=x，則DC=k，AB=2k，AE=2k-x．
∵∠B=90°，
∴DE²=BD²+BE²=k²+x²，
∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE=DE，
∴（2k-x）²=k²+x²，
∵k≠0，
∴x=

3

4

k，
∴BE=

3

4

k，AE=2k-

3

4

k=

5

4

k，
∴AE：BE=

5

4

k：

3

4

k=5：3．

點評：本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，準確作出輔助線利用方程思想是解題的關(guān)鍵．