Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

3

x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，以x=-1為對(duì)稱軸的拋物線y=-x²+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)D，連接PD，交AB于E，求出當(dāng)以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線方程易求點(diǎn)A的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后寫出拋物線的交點(diǎn)式方程即可；
（2）需要分類討論：①當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，△ADE∽△AOB．此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)為（-1，4）；
②當(dāng)∠AED=90°時(shí)，△AED∽△AOB．過點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，則△AED∽△CGD．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于t的一元二次方程：-t²+2t+3=3（-1-t），通過解該方程可以求得t的值；
（3）需要分類討論：以AB為邊和以AB為對(duì)角線時(shí)的平行四邊形．

解答：解：（1）∵直線y=

1

3

x+1與x軸交點(diǎn)為A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C，
∴拋物線為y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線y=-x²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），
①當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，△ADE∽△AOB．此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)為（-1，4）；
②當(dāng)∠AED=90°時(shí)，△AED∽△AOB．
過點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，則△AED∽△PGD．
于是

GD

PG

=

DE

AE

=

OB

OA

=

1

3

，
∴PG=3GD．
即：-t²+2t+3=3（-1-t），
解得 t₁=-2，t₂=3（不合題意，舍去）．
當(dāng)t=2時(shí)，-2²+2×2+3=3，
所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，4）或（-2，3）；

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為：以線段AB為邊時(shí)，N₁（2，-5），N₂（-4，-5），
以線段AB為對(duì)角線時(shí)，N₃（-2，3）．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是：N₁（2，-5），N₂（-4，-5），N₃（-2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．