Question

13．如圖，平行四邊形AOBC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OB在x軸的正半軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，己知：∠AOB=60°．
（1）求$\frac{OA}{OB}$的值；
（2）當(dāng)OA=8時(shí)，過點(diǎn)D作直線l平行于x軸，點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，可以求得OA、OB之間的關(guān)系，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可以解答本題．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，c），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），
∵∠AOB=60°，
∴OA=2a，c=$\sqrt{3}a$，
即點(diǎn)A（a，$\sqrt{3}a$），
∴點(diǎn)C（a+b，$\sqrt{3}a$），
所以點(diǎn)D（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
∵點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴$a•\sqrt{3}a=\frac{a+b}{2}•\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
解得，$\frac{a}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2a}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$；
（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（18，-$2\sqrt{3}$）．
如右圖所示，作BC⊥CP，CP交直線l于點(diǎn)P，作BQ⊥BC且BQ=CP，連接PQ，
∵OA=8，四邊形OACB是平行四邊形，∠AOB=60°，$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∴∠CDP=60°，CD=4，OB=12，
∴DP=8，PC=4$\sqrt{3}$，
∴BQ=4$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)Q到x的距離是：BQ•sin30°=$4\sqrt{3}•\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$，
點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離是：OB+BQ•cos30°=12+$4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$+12=18，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（18，-$2\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的判定，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．