Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（-3，0），A（1，0），B（0，

3

）．若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動，連接AP．求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出OA、OB、OC的長，利用勾股定理列式求出AB，∠OAB=60°，∠OCB=30°，然后求出∠ABC=90°，然后分①BP和OA是對應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，然后求出∠PAD=∠PAB=30°，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PD=BP，再求出AD=AB，然后求出OD，即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，求出PA⊥x軸，利用勾股定理列式求出AP，即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②BP和OB是對應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，然后求出∠PAB=∠PAE=60°，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PB，再求出AE=AB，然后求出OE，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；③點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)也是符合要求的點(diǎn)．

解答：解：∵A（1，0），B（0，

3

），C（-3，0），
∴OA=1，OB=

3

，OC=3，
∴AB=

12+ 3 2

=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

3

，tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，
∴∠OAB=60°，∠OCB=30°，
∴∠ABC=180°-∠OAB-∠OCB=180°-60°-30°=90°，
①BP和OA是對應(yīng)邊時(shí)，△PBA∽△AOB，
∴

BP

OA

=

AB

OB

，
即

BP

1

=

2

3

，
解得BP=

2 3

3

，
如圖，若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，
∵△PBA∽△AOB，
∴∠PAB=∠ABO=30°，
∴∠PAD=∠OAB-∠PAB=60°-30°=30°，
∴∠PAD=∠PAB=30°，
∴PD=BP=

2 3

3

，AD=AB=2，
∴OD=AD-OA=2-1=1，
此時(shí)，點(diǎn)P₁（-1，

2 3

3

）；
若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，則∠OAP=∠OAB+∠PAB=60°+30°=90°，
∴PA⊥x軸，
由勾股定理得，AP=

AB2+BP2

=

22+( 2 3 3 )2

=

4 3

3

，
此時(shí)，點(diǎn)P₂（1，

4 3

3

）；
②BP和OB是對應(yīng)邊時(shí)，△ABP∽△AOB，
∴

AB

OA

=

BP

OB

，
即

2

1

=

BP

3

，
解得BP=2

3

，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
∵△ABP∽△OAB，
∴∠PAB=∠BAO=60°，
∴∠PAE=180°-60°×2=60°，
∴∠PAB=∠PAE=60°，
∴PE=PB=2

3

，AE=AB=2，
∴OE=OA+AE=1+2=3，
此時(shí)，點(diǎn)P₃（3，2

3

），
③點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，△ABP∽△OAB，
此時(shí)，點(diǎn)P₄（-3，0），
綜上所述，點(diǎn)P₁（-1，

2 3

3

），P₂（1，

4 3

3

），P₃（3，2

3

），P₄（-3，0）時(shí)，以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，解直角三角形，難點(diǎn)在于要分情況討論．