Question

已知：關于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0 （m＞1）．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根．
（2）m為何整數時，此方程的兩個實數根都為正整數？

Answer 1

考點：根的判別式

專題：

分析：（1）根據根的判別式求出△的值，再進行判斷即可；
（2）利用公式法求出方程的兩個根，再根據方程的兩個實數根都為正整數，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵△=（-2m）²-4（m+1）（m-1）=4＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵△=（-2m）²-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0，
∴x₁=

2m+2

2(m-1)

=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

，x₂=

2m-2

2(m-1)

=1，
∵方程的兩個實數根都為正整數，且m＞1，
∴

2

m-1

是正整數，
∴m=2或m=3．

點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．