Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（-6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q滿足|QB-QC|最大時(shí)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如圖2，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE的面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（-6，0）分別代入y=ax²+bx+6，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，再求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，6），根據(jù)M、C的坐標(biāo)求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；
（3）由拋物線的對(duì)稱性可知QB=QA，故當(dāng)Q、C、A三點(diǎn)共線時(shí)，|QB-QC|最大，連結(jié)AC并延長(zhǎng)，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再將x=-2代入，求出y的值，進(jìn)而得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題知：

4a+2b+6=0 36a-6b+6=0

，
解得：

a=- 1 2 b=-2

，
故所求拋物線解析式為：y=-

1

2

x²-2x+6；

（2）∵拋物線解析式為：y=-

1

2

x²-2x+6，
∴對(duì)稱軸為x=

2

2×(- 1 2 )

=-2，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，t），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴C（0，6），M（-2，0），
∴CM²=（-2-0）²+（0-6）²=40．
①當(dāng)CP=PM時(shí)，（-2）²+（t-6）²=t²，解得t=

10

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（-2，

10

3

）；
②當(dāng)CM=PM時(shí)，40=t²，解得t=±2

10

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₂（-2，2

10

）或P₃（-2，-2

10

）；
③當(dāng)CM=CP時(shí)，由勾股定理得：40=（-2）²+（t-6）²，解得t=12，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₄（-2，12）．
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（-2，

10

3

）或P（-2，2

10

）或P（-2，-2

10

）或P（-2，12）；

（3）∵點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（-6，0）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱，
∴QB=QA，
∴|QB-QC|=|QA-QC|，
要使|QB-QC|最大，則連結(jié)AC并延長(zhǎng)，與直線x=-2相交于點(diǎn)Q，即點(diǎn)Q為直線AC與直線x=-2的交點(diǎn)，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，
∵A（2，0），C（0，6），
∴

2k+m=0 m=6

，
解得

k=-3 b=6

，
∴y=-3x+6，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3×（-2）+6=12，
故當(dāng)Q在（-2，12）的位置時(shí)，|QB-QC|最大；

（4）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（n，-

1

2

n²-2n+6）（-6＜n＜0），
則EF=-

1

2

n²-2n+6，BF=n+6，OF=-n，
S_{四邊形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF
=

1

2

（n+6）•（-

1

2

n²-2n+6）+

1

2

（6-

1

2

n²-2n+6）•（-n）
=-

3

2

n²-9n+18=-

3

2

（n+3）²+

63

2

，
所以當(dāng)n=-3時(shí)，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為

63

2

．
此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-3，

15

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．