Question

如圖所示，直線PD為△ABC一邊BC的垂直平分線，點D為垂足，連接CP并延長CP交邊AB于點F，射線BP交邊AC于點E．
（1）若∠A=∠BPF，求證：BF=CE．
（2）在（1）的條件下，若∠A=60°，線段PD、PE、PF之間的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（3）在（2）的條件下，若PC=8，且PF•PE=9，（PF＞PE），求PF-PE的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）作BM⊥CF于點M，CN⊥BN于點N，易證BM=CN和∠CEN=∠BFP，即可證明RT△BFM≌RT△CEN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）易證∠MBP=∠PBD=30°，即可證明△BPM≌△BPD，可得PM=PD．易證△BPM≌△CPN，可得PM=PN，即可解題；
（3）易證PE+PF的值，根據(jù)完全平方公式的轉(zhuǎn)化即可求得（PF-PE）²的值，即可解題．

解答：（1）證明：作BM⊥CF于點M，CN⊥BN于點N，

∵PD為BC的垂直平分線，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，∴BM=CN，
∵∠A=∠BPF，∴∠BFP=∠BEA，
∵∠BEA=∠CEN，∴∠CEN=∠BFP，
∵在RT△BFM和RT△CEN中，

∠BFP=∠CEN ∠BMF=∠CNE=90° BM=CN

，
∴RT△BFM≌RT△CEN，（AAS）
∴BM=CF；
（2）解：∵∠BPF=60°，BP=CP，
∴∠PBD=∠PCD=30°，
∴∠MBP=∠PBD=30°，
∵在△BPM和△BPD中，

∠PBM=∠PBD BP=BP ∠BPM=∠BPM

，
∴△BPM≌△BPD，（ASA）
∴PM=PD．
∵在△BPM和△CPN中，

∠BMP=∠CNP=90° ∠BPM=∠CPN BP=CP

，
∴△BPM≌△CPN，（AAS）
∴PM=PN，
∴PE+PF=PM+FM+PE=PM+PN=2PD，
即PE+PF=2PD；
（3）解：∵∠PBD=30°，∴PC=2PD，
∴PE+PF=8，
∴（PF-PE）²=（PF+PE）²-2PE•PF=46，
∴PF-PE=

46

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證RT△BFM≌RT△CEN和△BPM≌△BPD是解題的關(guān)鍵．