Question

如圖，在△ABC中，BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，P為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于D，連接AP．問(wèn)點(diǎn)P在BC上何處時(shí)，△APD的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：首先根據(jù)在△ABC中，已知BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，設(shè)AD=x，列出△APD的面積關(guān)于x的二次函數(shù)，利用配方法求得最大值，即為所求△APD的面積最大值．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
∵在△ABC中，BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，
∴△ABC為Rt△，∠C=30°，
設(shè)AD=x，
∵BC=4，∠C=30°，
∴CE=AC•sin∠C=2

3

×

3

2

=3，
∴CD=2

3

-x，
∴AE=AC•sin30°=

3

，DF=CD•sin30°=

1

2

（2

3

-x），
∵AB∥PD，
∴PC：BC=CD：AC，
∴PC=3-

3

2

x，
∴S_△PAD=S_△PAC-S_△PCD=

1

2

×（3-

3

2

x）×

3

-

1

2

×（3-

3

2

x）×

1

2

（2

3

-x）=-

3

8

（x-

3

2

）²+

3 3

32

．
∴當(dāng)PC=3-

3

2

x=

9

4

時(shí)，最大值為

3 3

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的計(jì)算、三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是證得△ABC為Rt△，從而利用三角函數(shù)建立起邊間的關(guān)系；并在解題過(guò)程中轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問(wèn)題．