Question

在某張航海圖上，標(biāo)明了三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護(hù)區(qū)．
（1）求圓形區(qū)域的面積；
（2）某時(shí)刻海面上出現(xiàn)-漁船A，在觀測(cè)點(diǎn)O測(cè)得A位于北偏東45°，同時(shí)在觀測(cè)點(diǎn)B測(cè)得A位于北偏東30°，求觀測(cè)點(diǎn)B到A船的距離．（

3

≈1.7，保留三個(gè)有效數(shù)字）；
（3）當(dāng)漁船A由（2）中位置向正西方向航行時(shí)，是否會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)？通過計(jì)算回答．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，由圓周角定理、勾股定理得OC=

82+62

=10，則半徑OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π．
（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，依題意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，則AB=2x，由勾股定理AD=

3

x，根據(jù)圖形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（

3

+1）≈16.2
（3）過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G．過點(diǎn)O′作O′E⊥OB于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)EO′交AG于點(diǎn)F．由垂徑定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以
O′F=9+3

3

-4=5+3

3

＞5．

解答：解：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，
∴∠CBO=90°，
設(shè)O′為由O、B、C三點(diǎn)所確定圓的圓心．
則OC為⊙O′的直徑．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

82+62

=10
半徑OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π．

（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，依題意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，則AB=2x，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

3

x，
由題意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=

3

x
∴x=3（

3

+1），
∴AB=2x=6（

3

+1）≈16.2
（注：近似計(jì)算一定要到最后的結(jié)果才可以代入，否則中間就代入，誤差會(huì)很大）；

（3）過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G．
過點(diǎn)O′作O′E⊥OB于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)EO′交AG于點(diǎn)F．
由（1）知，OO′=5，由垂徑定理得，OE=BE=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4
∵四邊形FEDA為矩形．
∴EF=DA，而AD=

3

x=9+3

3

∴O′F=9+3

3

-4=5+3

3

＞5，
∴直線AG與⊙O′相離，A船不會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握垂徑定理及其推論；圓由半徑和圓心確定；會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．