Question

【問題情境】
徐老師給愛好學習的小敏和小捷提出這樣一個問題：
如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AB+BD=AC
小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）…
小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE． 可以證得：AE=DE（如圖3）…
請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明．
【變式探究】
“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”，其它條件不變．（如圖4），AB+BD=AC成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出你的正確結(jié)論，并說明理由．
【遷移拓展】
△ABC中，∠B=2∠C． 求證：AC²=AB²+AB•BC． （如圖5）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：【問題情境】小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠DAB=∠DAE，再證明△ADB≌ADE就可以得出結(jié)論；小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．就可以得出∠E=∠C，就有AE=AC，進而得出AE=ED即可；
【變式探究】CD上截取DE=DB，連結(jié)AE，由AD⊥BC就可以得出AE=AB，∠AED=∠B，由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC，進而得出結(jié)論；
【遷移拓展】過點A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB²=BD²+AD²，AC²=CD²+AD²，AC²-AB²=CD²-BD²=BC（CD-BD），由（2）的結(jié)論就可以得出AC²-AB²=BC（CD-BD）=BC•AB即可．

解答：解：【問題情境】小敏的證明思路是：如圖2，在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠EAD．
在△ABD和△AED中，

AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠ABD=∠AED    
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
  即AB+BD=AC；
小捷的證明思路是：如圖3，延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．
∴∠E=∠BAE．
∵∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠ABC=2∠E．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴△AEC是等腰三角形．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE 
∴∠ADE=∠DAE，
∴EA=ED=AC，
∴AB+BD=AC；
【變式探究】
AB+BD=AC不成立   正確結(jié)論：AB+BD=CD…（5分）
理由：如圖4，在CD上截取DE=DB，連結(jié)AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的中垂線，
∴AE=AB，
∴∠B=∠AED．
∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=EC．
即AB+BD=CD；
【遷移拓展】
證明：如圖5，過點A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB²=BD²+AD²，AC²=CD²+AD²，
∴AC²-AB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC（CD-BD）
∵AB+BD=CD，
∴CD-BD=AB，
∴AC²-AB²=BC（CD-BD）=BC•AB，
即AC²=AB²+AB•BC．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的外角一內(nèi)角的關(guān)系的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等及運用勾股定理是關(guān)鍵．