Question

如圖，AB為⊙O的直徑，OD⊥AC于D，AC交⊙O于點E，D為AC上一點，∠AOD=∠C．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AB=10，OD=3，求弦AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）由OD⊥AC得到∠AOD+∠A=90°，而∠AOD=∠C，則∠A+∠C=90°，所以∠ABC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理由OD⊥AE得到AD=ED，再在Rt△AOD中利用勾股定理計算出AD=4，于是得到AE=2AD=8．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠A=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵OD⊥AE，
∴AD=ED，
在Rt△AOD中，OA=

1

2

AB=5，OD=3，
∴AD=

OA2-OD2

=4，
∴AE=2AD=8．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理和勾股定理．