【題目】感知:如圖①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=m,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,過點D作DE⊥CB交CB的延長線于點E,連接CD.
(1)求證:△ACB≌△BED;
(2)△BCD的面積為 (用含m的式子表示).
拓展:如圖②,在一般的Rt△ABC,∠ACB=90°,BC=m,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD,用含m的式子表示△BCD的面積,并說明理由.
應(yīng)用:如圖③,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD,則△BCD的面積為 ;若BC=m,則△BCD的面積為 (用含m的式子表示).
【答案】感知:(1)詳見解析;(2)m2;拓展: m2,理由詳見解析;應(yīng)用:16, m2.
【解析】
感知:(1)由題意可得CA=CB,∠A=∠ABC=45°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BA=BD,∠ABD=90°,可得∠DBE=∠ABC,即可證△ACB≌△BED;
(2)由△ACB≌△BED,可得BC=DE=m,根據(jù)三角形面積求法可求△BCD的面積;
拓展:作DG⊥CB交CB的延長線于G,可證△ACB≌△BGD,可得BC=DG=m,根據(jù)三角形面積求法可求△BCD的面積;
應(yīng)用:過點A作AN⊥BC于N,過點D作DM⊥BC的延長線于點M,由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BN=BC,由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BN=DM,由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.
感知:證明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴CA=CB=m,∠A=∠ABC=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,BA=BD,∠ABD=90°,
∴∠DBE=45°,
在△ACB和△DEB中,
,
∴△ACB≌△BED(AAS)
(2)∵△ACB≌△BED
∴DE=BC=m
∴S△BCD=BC×ED=m2,
故答案為 m2,
拓展:作DG⊥CB交CB的延長線于G,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBG=90°,又∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=∠DBG,
在△ACB和△BGD中,
,
∴△ACB≌△BGD(AAS),
∴BC=DG=m
∴S△BCD=BC×DG=m2,
應(yīng)用:作AN⊥BC于N,DM⊥BC交CB的延長線于M,
∴∠ANB=∠M=90°,BN=BC=4.
∴∠NAB+∠ABN=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠ABN+∠DBM=90°,
∴∠NAB=∠MBD.
∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,
∴AB=BD.
在△AFB和△BED中,
,
∴△ANB≌△BMD(AAS),
∴BN=DM=BC=4.
∴S△BCD=BCDM=×8×4=16,
若BC=m,則BN=DM=BC=m,
∴S△BCD=BCDM=×m×m=m2
故答案為16,m2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形為矩形,點在上(不與,重合),連接,,以為一邊作正方形,使得點在邊上,給出以下結(jié)論:①;②;③;④;⑤;其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校八、九年級部分學(xué)生的睡眠情況,隨機(jī)抽取了該校八、九年級部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,已知抽取的八年級與九年級的學(xué)生人數(shù)相同,利用抽樣所得的數(shù)據(jù)繪制如圖的統(tǒng)計圖表:
睡眠情況分段情況如下
組別 | 睡眠時間x(小時) |
根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:
(Ⅰ)直接寫出統(tǒng)計圖中的值 ;
(Ⅱ)睡眠時間少于6.5小時為嚴(yán)重睡眠不足,則從該校八、九年級各隨機(jī)抽一名學(xué)生,被抽到的這兩位學(xué)生睡眠嚴(yán)重不足的可能性分別有多大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點A,二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A.
(1)當(dāng)m=4時,求n的值;
(2)設(shè)m=﹣2,當(dāng)﹣3≤x≤0時,求二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值;
(3)當(dāng)﹣3≤x≤0時,若二次函數(shù)﹣3≤x≤0時的最小值為﹣4,求m、n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊AB=20,面積為320,∠BAD<90°,⊙O與邊AB,AD都相切,若AO=10,則⊙O的半徑長為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司種植和銷售一種野山菌,已知該野山菌的成本是12元/千克,規(guī)定銷售價格不低于成本,又不高于成本的兩倍.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),某天該野山菌的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求這一天銷售野山菌獲得的利潤W的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12米,BC=24米,動點P從點A開始沿邊AB向B以2米/秒的速度運(yùn)動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿BC向C以4米/秒的速度運(yùn)動(不與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),設(shè)運(yùn)動時間為x秒,四邊形APQC的面積為y平方米.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)求當(dāng)x為多少時,y有最小值,最小值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AC與BD交于點E,點E是BD的中點,延長CD到點F,使DF=CD,連接AF,
(1)求證:AE=CE;
(2)求證:四邊形ABDF是平行四邊形;
(3)若AB=2,AF=4,∠F=30°,則四邊形ABCF的面積為 .
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