Question

如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB=BC，BD交AC于點E，連結CD
（1）求證：DB平分∠ADC．
（2）若BE=5，ED=10，求AB的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關系,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）運用同弧或等弧所對的圓周角相等，即可解決問題．
（2）證明∠BAE=∠ADB，進而證明△ABE∽△DBA，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖，在⊙O中，
∵AB=BC，
∴

AB

=

BC

，
∴∠ADB=∠CDB，
∴DB平分∠ADC．

（2）如圖，
∵

AB

=

BC

，
∴∠BAE=∠ADB，
又∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴AB：BD=BE：AB，
∴AB²=BE•BD，
∵BE=5，ED=10，
∴AB=5

3

．

點評：該題以圓為載體，以考查圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質的應用為核心構造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．