Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，連接OD，OE．
（1）求證：四邊形CDOE是正方形；
（2）當AC=4，BC=6時，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）先證明四邊形ODCE為矩形，再根據(jù)OD=OE，可得出四邊形CDOE為正方形；
（2）先設(shè)圓O的半徑為r，再證明△OAD∽△BOE，即可得出圓O的半徑．

解答：解：（1）∵AC、BC分別為半圓O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形CDOE為正方形；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AC=4，BC=6，
∴AD=4-r，BE=6-r，
∵AC∥OE，
∴∠A=∠BOE，
∴△OAD∽△BOE，
∴

AD

OE

=

OD

BE

，
∴

4-r

r

=

r

6-r

，
解得r=2.4，
所以⊙O的半徑為2.4．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)以及正方形的判定，切線垂直于過切點的半徑，三個角為直角且有一組鄰邊相等的四邊形為正方形．