【發(fā)現(xiàn)】
如圖∠ACB=∠ADB=90°,那么點(diǎn)D在經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓上(如圖①)
【思考】
如圖②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(點(diǎn)C,D在AB的同側(cè)),那么點(diǎn)D還在經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓上嗎?
小明嘗試用反證法:如圖③,過A、B、C三點(diǎn)作圓,圓心為O,假設(shè)點(diǎn)D在圓O外,設(shè)AD交圓O于點(diǎn)E,連接BE,則∠AEB=∠ACB,又由∠AEB是△BDE的一個(gè)外角,得∠AEB>∠ADB,因此∠ACB>∠ADB,就與條件∠ACB=∠ADB相矛盾,所以點(diǎn)D不在圓O外。
點(diǎn)D可能在⊙O內(nèi)嗎?,請你補(bǔ)全小明的解題過程(畫出示意圖)并給出你的結(jié)論。
【應(yīng)用】
利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決問題:
(1)如圖④,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E為BC上的任一點(diǎn),AE⊥EF,EF交∠BCD的外角平分線于點(diǎn)F.求證:EA=EF.
(2)如圖⑤,正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2.P為正方形內(nèi)一點(diǎn),且∠OPB=45°,PA:PB=5:14.求OP長度
圖④ 圖⑤
解:【思考】如圖1,假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi),延長AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE,則∠AEB=∠ACB,
∵∠ADE是△BDE的外角,
∴∠ADB>∠AEB,
∴∠ADB>∠ACB,
因此,∠ADB>∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾,------------2分
所以點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi),
所以點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi),也不在⊙O外,點(diǎn)D在⊙O上;------------3分
【應(yīng)用】
(1)連接AC AF------------4分
∵正方形ABCD
∴∠ACB=∠ACD=45° ∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴ ∠DCF=45°
∴ ∠ACF=90°
∵ ∠AEF=∠ACF=90°
∴ A,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓------------6分
∴ ∠AFE=∠ACB=45°
∴ EA=EF------------7分
(2)如圖連接OA,OB,
∵正方形ABCD的中心為O,∠OPB=45°,
∴∠OAB=∠OPB=45°,∠OBA=45°,OA=OB
∴O,P,A,B四點(diǎn)共圓, ------------8分
∴∠APB=∠AOB=180°-45°-45°=90°,
在△PAB中由勾股定理得:PA2+PB2=AB2=1989,
由于PA:PB=5:14,
設(shè)PA=5x,PB=14x,
(5x)2+(14x)2=1989,
解得:x=3,
∴PB=14x=42.------------10分
作OE⊥OP交PB于點(diǎn)E
∴OP=OE
∵ ∠AOB=∠POE=90°
∴∠POA=∠EOB
∴△OPA≌△OEB
∴AP=BE=15
∴PE=PB-BE=27
∴OP=×27=------------12分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖①,已知拋物線C1:的頂點(diǎn)為C,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及 a 的值;
(2)如圖②,拋物線C2與C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移4個(gè)單位,得到拋物線C3.C3與x軸交于點(diǎn)B、E,點(diǎn)P是直線CE上方拋物線C3上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線,交CE于點(diǎn)F.
①求線段PF長的最大值;
②若PE=EF,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在△ABC中,以AC邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BG⊥AC交⊙O于點(diǎn)E、H,連AD、ED、EC,若BD=8,DC=6,則CE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電,每個(gè)小家電的進(jìn)價(jià)為40元,經(jīng)市場預(yù)測,每個(gè)小家電的銷售定價(jià)為50元,可售出400個(gè);定價(jià)每增加1元,銷售量將減少10個(gè).設(shè)每個(gè)小家電定價(jià)增加x元.
(1)寫出售出一個(gè)小家電可獲得的利潤是多少元?(用含x的代數(shù)式表示);
(2)商店若準(zhǔn)備獲得利潤6000元,并且使進(jìn)貨量較少,則每個(gè)小家電的定價(jià)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在中,cm,cm;動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以cm/s的速度向點(diǎn)移動,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以4 cm/s的速度向點(diǎn)移動,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以 2cm/s的速度向點(diǎn)移動.如果、、分別從、、同時(shí)移動,移動時(shí)間為s.
(1)的度數(shù)是 ;
(2)以為直徑的與交于點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),與相切?
(3)寫出的面積隨動點(diǎn)移動時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,并求的最小值及相應(yīng)的 值;
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第28題圖 備用圖
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