Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）C（3，0），D（1，-4），△BCD是直角三角形．

【解析】

（1）先解一元二次方程，然后用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論．

（1）∵x2+4x+3=0，∴x1=﹣1，x2=﹣3．

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3．

∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

（2）令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴C（3，0）．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴頂點坐標D（1，﹣4）.

過點D作DE⊥y軸．

∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形．