Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）、B（3，3），頂點(diǎn)為C，直線BC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）試探究m為何值時，四邊形ODPQ是平行四邊形；
（3）否存在點(diǎn)Q，使得以P、Q、A為頂點(diǎn)三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得．
（2）先求出直線BC的解析式，然后根據(jù)PQ∥OD且相等即可求得．
（3）先證得三角形BOC是以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，然后根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）、B（3，3），
∴

4a+2b=0 9a+3b=3

 解得：

a=1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x²-2x；
∴y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴頂點(diǎn)C（1，-1），
設(shè)直線BC為y=kx+m，
則

3k+m=3 k+m=-1

 解得

k=2 m=-3

，
∴直線BC為y=2x-3，
∵當(dāng)x=0時，y=-3，
∴OD=3，
∵PQ∥OD，
∴當(dāng)PQ=OD時，四邊形ODPQ是平行四邊形，
∴m²-2m=3，解得m=3（舍去）m=-1，
∴當(dāng)m=-1時，四邊形ODPQ是平行四邊形．

（3）存在；
解：∵P（m，0），
∴Q（m，m²-2m），
∴PQ=m²-2m，PA=2-m，
∵A（2，0）、B（3，3）、C（1，-1），
∴OB=3

2

，OC=

2

，
∴OB²+OC²=20，
∵BC²=（3-1）²+（3+1）²=20，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC=90°，
∵以P、Q、A為頂點(diǎn)三角形與△BOC相似，
∴

PQ

OC

=

PA

OB

或

PQ

OB

=

PA

OC

，
當(dāng)

PQ

OC

=

PA

OB

時，則

m2-2m

2

=

2-m

3 2

，
解得m=-

1

3

，m=2（舍去），
當(dāng)

PQ

OB

=

PA

OC

時，則

m2-2m

3 2

=

2-m

2

，
解得m=-3，m=2（舍去），
∴使得以P、Q、A為頂點(diǎn)三角形與△BOC相似的Q點(diǎn)的坐標(biāo)Q（-

1

3

，

7

9

）或Q（-3，15）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式的方法，拋物線頂點(diǎn)的求法，平行四邊形的判定，直角三角形的判定以及三角形相似的性質(zhì)等．