Question

△ABC中，∠C=80°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PE=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點P在線段AB上，如圖l，且∠α=50°，則∠1+∠2=

 

°
（2）若點P在邊AB上運動，如圖2，則∠α、∠1、∠2之間的關系為：

 

；
（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖3，則∠α、∠l、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．
（4）若點P運動到△ABC形外，如圖4，則∠α、∠l、∠2之間的關系為：

 

．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質,多邊形內角與外角

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)三角形外角性質得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，再根據(jù)四邊形內角和為360°得∠C+∠DPE+∠CDP+∠CEP=360°，則∠C+180°-∠1+180°-∠2+α=360°，所以∠1+∠2=∠C+α，然后把∠C和α的度數(shù)代入計算即可；
（2）由（1）可得到∠1+∠2=80°+α；
（3）根據(jù)三角形外角性質得∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+α，則∠1=∠C+∠2+α，整理為∠1-∠2=80°+α；
（4）根據(jù)三角形外角性質得∠1=α+∠3，∠2=∠C+∠4，利用∠3=∠4和等式性質得到∠1-α=∠2-∠C，整理為∠2-∠1=∠C-α=80°-α．

解答：解：（1）∵∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，
而∠C+∠DPE+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠C+180°-∠1+180°-∠2+α=360°，
∴∠1+∠2=∠C+α=80°+50°=130°；
（2）∠α、∠1、∠2之間的關系為∠1+∠2=80°+α；
（3）∠1-∠2=80°+α．理由如下：如圖3，
∵∠1=∠C+∠3，
而∠3=∠2+α，
∴∠1=∠C+∠2+α，
∴∠1-∠2=80°+α；
（4）如圖4，
∵∠1=α+∠3，∠2=∠C+∠4，
而∠3=∠4，
∴∠1-α=∠2-∠C，
∴∠2-∠1=∠C-α=80°-α．
故答案為130°；∠1+∠2=80°+α；∠1-∠2=80°+α；∠2-∠1=80°-α．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了三角形外角性質．