Question

【題目】如圖，點A在以BC為直徑的⊙O上，連接AB、AC，點H為AB的中點．過點H的弦DE⊥BC于點F，連接CD、CH．

（1）求證：AB2=2BC·BF

（2）取AC的中點G，連接HG，過點D作線段DI與AC交于點J，與HJ的延長線交于點I．若AB=AG=4，求DJ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）直接證明△BFH∽△BAC，得到=，而BH= ，即可得到結(jié)論；

（2）先由cos∠FBH==得到BF=，再由勾股定理及線段的和差關(guān)系得到DH= HG=，再由tan∠HDI==得到HI=，從而得到GI，DI，OI的值，又易得△OCJ∽△IGJ，得到=，從而得到關(guān)鍵關(guān)系：，進而根據(jù)DJ=OD+OJ得解．

解：（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，DE⊥BC

∴∠BFH=∠BAC=90°

∵∠FBH=∠ABC, 點H為AB的中點

∴△BFH∽△BAC，BH=

即=即=BC·BF

AB2=2BC·BF

（2）∵點H為AB的中點，點G為AC的中點

∴AH=BH===2，AC=2AG=8，HG, HG

∵∠BFH=∠BAC=90°∴BC==，HG=，∠BFH=∠DHI=90°

∴cos∠FBH==

∴=

∴BF=

∴Rt△BFH中：由勾股定理可得：FH==

∵⊙O的直徑為 ∴OB=OC=， OF=OB - BF=-=

∵∠OFD=∠BFH=90°

∴DF==，DH=DF+FH==HG

∵tan∠HDI====即HI=， IG=HI - HG=-=

∴Rt△DHI中：由勾股定理可得：DI==， OI=DI - OD=-=

∵HG∥AC

∴△OCJ∽△IGJ

∴=

∴，

∴OJ=3IJ

∴

∴DJ=OD+OJ=+=

∴DJ的長為