Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，對稱軸為，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；

（2）為拋物線上一動點(diǎn)，且位于的下方，求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)在軸上，且滿足，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.

（3）或17.

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸與點(diǎn)A代入即可求解；

（2）先求出，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，設(shè)，得到，，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)題意分①當(dāng)在軸正半軸上時(shí)， ②當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）∵對稱軸為x＝1，

∴＝1，

∴b＝2a，

∴y＝ax2＋2ax5，

∵y＝x＋3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），

將點(diǎn)A代入y＝ax2＋2ax5可得a＝

∴.

（2）令，解得：，，

∴，

過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，

設(shè)，則，

∴，，

則，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.

（3）存在，

理由：①當(dāng)在軸正半軸上時(shí)，如圖，

過點(diǎn)作于，

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得，，

又∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

設(shè)，則，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

②當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記作，

由①知，，取，如圖，

則由對稱知：，

∴，

因此點(diǎn)也滿足題目條件，∴，

綜合以上得：或17.