【題目】已知:內(nèi)接于,為劣弧的中點(diǎn),.
(1)如圖1,當(dāng)為的直徑時(shí),求證:;
(2)如圖2,當(dāng)不是的直徑,且時(shí),求證:;
(3)如圖3在(2)的條件下,,,求長(zhǎng).
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解;(3).
【解析】
(1)由等角的余角相等,得到∠ABD=∠EAC,由為劣弧的中點(diǎn),則∠ABC=2∠EAC,即可得到答案;
(2)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,先證明△ABE≌△GBE,則AB=GB,AE=GE,∠BAE=∠BGE,由三角形的外角性質(zhì)和等量代換,得到CG=AG=2AE,即可得到答案;
(3)延長(zhǎng)AE到G,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC,連接DC,OD,由相似三角形的判定和性質(zhì),求出所需的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度,結(jié)合解直角三角形和勾股定理,即可得到答案.
解:(1)如圖1,
∵為的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵,
∴∠AEF=90°,
∴∠ABD+∠AFB=∠AFB+∠CAE=90°,
∴∠ABD=∠CAE,
∵為劣弧的中點(diǎn),
∴∠ABC=2∠ABD=2∠CAE,
∵∠ABC+∠C=90°,
∴;
(2)如圖,延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=∠GEB=90°,
∵點(diǎn)D是為劣弧的中點(diǎn),
∴∠ABE=∠GBE,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△GBE(ASA),
∴AB=GB,AE=GE,∠BAE=∠BGE,
∴AG=2AE,
∵,
∴∠BGE=2∠C,
∵∠BGE=∠C+∠CAG,
∴∠C=∠CAG,
∴CG=AG=2AE,
∵BC=BG+CG,
∴;
(3)如圖,延長(zhǎng)AE到G,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC,連接DC,OD,
由(2)知,AG=CG,點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)O、G、D三點(diǎn)共線,
∵∠ABE=∠DBH,∠AEB=∠DHB=90°,
∴△ABE∽△DBH,
∴,
∵,,
∴,,
∵DG平分∠AGC,
∴GE=GH,
設(shè),則,
∴,
在Rt△BEG中,,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
易證△AFB∽DFC,
∴,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)落在點(diǎn)處,得到,過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn).,.
(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的反比例函數(shù)和直線:的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)作軸,求五邊形的面積;
(3)直接寫出當(dāng)時(shí)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),與軸正半軸交于點(diǎn),與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),,,.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)是上一點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn),在(2)的條件下,點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),是否存在點(diǎn)、,使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,,,點(diǎn),分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),且,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在的內(nèi)角平分線上,則長(zhǎng)為_______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,直線交于點(diǎn),交另一邊于點(diǎn),且,則的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的布袋里裝有個(gè)白球,個(gè)黑球和若干個(gè)紅球,它們除顏色外其余都相同,從中任意摸出個(gè)球,是白球的概率為.
(1)布袋里紅球的個(gè)數(shù)_______;
(2)小亮和小麗將布袋中的白球取出個(gè),利用剩下的球進(jìn)行摸球游戲,他們約定:先摸出個(gè)球后不放回,再摸出個(gè)球,若兩個(gè)球中有紅球則小亮勝,否則小麗勝,你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)用列表或畫樹狀圖說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小元步行從家去火車站,走到 6 分鐘時(shí),以同樣的速度回家取物品,然后從家乘出租車趕往火車站,結(jié)果比預(yù)計(jì)步行時(shí)間提前了3 分鐘.小元離家路程S(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖,從家到火車站路程是( )
A.1300 米B.1400 米C.1600 米D.1500 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作(九章算術(shù))中有如下問(wèn)題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一.次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤.”其意思為“今有人持金出五關(guān),第關(guān)所收稅金為持金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,關(guān)所收稅金之和,恰好重斤.”若設(shè)這個(gè)人原本持金斤,根據(jù)題意可列方程為__________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的網(wǎng)格中,有兩個(gè)完全相同的直角三角形紙片,如果把其中一個(gè)三角形紙片先橫向平移格,再縱向平移格,就能使它的一條邊與另一個(gè)三角形紙片的一條邊重合,拼接成一個(gè)四邊形,那么的結(jié)果( )
A.只有一個(gè)確定的值B.有兩個(gè)不同的值
C.有三個(gè)不同的值D.有三個(gè)以上不同的值
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