Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)P在邊AC上，且AP=

1

2

AB，聯(lián)結(jié)BP，以BP為一邊作△BPQ（點(diǎn)B、P、Q按逆時針排列），點(diǎn)G是△BPQ的重心，聯(lián)結(jié)BG，∠PBG=∠BCA，∠QBG=∠BAC，聯(lián)結(jié)CQ并延長，交邊AB于點(diǎn)M．設(shè)PC=x，

MQ

MC

=y．
（1）求

BP

BQ

的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）延長BG，交邊PQ于點(diǎn)D，延長BD至點(diǎn)E，使DE=BD，連接PE，先證出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再證出△BPE∽△CBA，得出

BP

PE

=

BC

AB

=

5

4

，即可證出

BP

BQ

=

5

4

；
（2）延長AB至點(diǎn)F，使BF=AB，連接QF，過點(diǎn)Q作QH∥AC，交邊AB于點(diǎn)H，證出

BP

BQ

=

BC

BF

，再根據(jù)∠PBC=∠QBF，證出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，

PC

QF

=

BP

BQ

=

5

4

，再根據(jù)

QF

HQ

=

BC

AB

=

5

4

，得出

PC

QF

•

QF

HQ

=（

5

4

）²，從而求出HQ=

16

25

PC=

16

25

x，最后根據(jù)

MQ

MC

=

HQ

AC

得出y=

16 25 x

x+2

，再進(jìn)行整理即可．

解答：解：（1）延長BG，交邊PQ于點(diǎn)D，由點(diǎn)G是△BPQ的重心，可知PD=DQ，
延長BD至點(diǎn)E，使DE=BD，連接PE，
∵PD=DQ，DE=BD，∠PDE=∠QDB，
∴△PDE≌△QDB，
∴PE=BQ，∠PED=∠QBD，
∵∠QBG=∠BAC，
∴∠PED=∠BAC，
∵∠PBG=∠BCA，
∴△BPE∽△CBA，
∴

BP

PE

=

BC

AB

=

5

4

，
∴

BP

BQ

=

5

4

；

（2）延長AB至點(diǎn)F，使BF=AB，連接QF，過點(diǎn)Q作QH∥AC，交邊AB于點(diǎn)H，
∵

BP

BQ

=

5

4

，

BC

BF

=

5

4

，
∴

BP

BQ

=

BC

BF

，
∵∠PBQ=∠BAC+∠BCA，∠CBF=∠BAC+∠BCA，
∴∠PBQ=∠CBF，
∴∠PBC=∠QBF，
∴△PBC∽△QBF，
∴∠BCP=∠BFQ，

PC

QF

=

BP

BQ

=

5

4

，
∵HQ∥AC，
∴∠BHQ=∠BAC，
∴△FQH∽△CBA，
∴

QF

HQ

=

BC

AB

=

5

4

，
∴

PC

QF

•

QF

HQ

=（

5

4

）²，即

PC

HQ

=

25

16

，
∴HQ=

16

25

PC=

16

25

x，
∵HQ∥AC，
∴

MQ

MC

=

HQ

AC

，即y=

16 25 x

x+2

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

16x

25x+50

．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的重心，關(guān)鍵是做出輔助線，構(gòu)造相似三角形．