Question

如圖，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O交AB于C．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連接CD，若CD=7，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，先根據(jù)內(nèi)角和定理計算出∠ADB=120°，加上∠ADO=∠A=30°，則可計算出∠ODB=∠ADB-∠ADO=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷DB為⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOC=∠ADO+∠A=60°，則可判斷△ODC為等邊三角形，得到OC=CD=7，∠OCD=60°，由于∠OCD=∠B+∠CDB，∠B=30°，所以∠CDB=30°，得到CB=CD=7，然后利用AB=OA+OC+CB進(jìn)行計算．

解答：解：（1）BD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ADB=180°-2×30°=120°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ADO=90°，
∴OD⊥DB，
∴DB為⊙O的切線；
（2）∵∠DOC=∠ADO+∠A=60°，
而OD=OC，
∴△ODC為等邊三角形，
∴OC=CD=7，∠OCD=60°，
而∠OCD=∠B+∠CDB，
∴∠CDB=30°，
∴CB=CD=7，
∴AB=OA+OC+CB=7+7+7=21．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．