Question

已知反比例函數(shù)y=

2

x

和一次函數(shù)y=-x+k交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的長度小于

2

時(shí)，k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：將y=

2

x

代入y=-x+k，整理得x²-kx+2=0，先由反比例函數(shù)y=

2

x

和一次函數(shù)y=-x+k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，得出△=k²-4×2＞0，即k²＞8．再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=-x₁+k，y₂=-x₂+k，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=k，x₁•x₂=2，那么（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=k²-8，（y₁-y₂）²=（-x₁+k+x₂-k）²=（x₁-x₂）²=k²-8，于是AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（k²-8），根據(jù)AB的長度小于

2

，得到2（k²-8）＜2，即k²＜9，然后解不等式組8＜k²＜9，即可求出k的取值范圍．

解答：解：將y=

2

x

代入y=-x+k，得

2

x

=-x+k，
整理，得x²-kx+2=0，
∵反比例函數(shù)y=

2

x

和一次函數(shù)y=-x+k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，
∴△=k²-4×2＞0，
∴k²＞8．
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），則y₁=-x₁+k，y₂=-x₂+k，
∵x₁+x₂=k，x₁•x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=k²-8，
∴（y₁-y₂）²=（-x₁+k+x₂-k）²=（x₁-x₂）²=k²-8，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（k²-8），
∵AB的長度小于

2

，
∴2（k²-8）＜2，
∴k²＜9，
∴8＜k²＜9，
∴-3＜k＜-2

2

或2

2

＜k＜3．
故答案為-3＜k＜-2

2

或2

2

＜k＜3．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，解不等式組，綜合性較強(qiáng)，難度適中．得出8＜k²＜9是解題的關(guān)鍵．