Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O相切，切點(diǎn)分別為A、C，PC的延長線與AB的延長線相交與點(diǎn)D．
（1）猜想BC與OP的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若OA=1，PA=2，求BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，證△PAO≌△PCO，推出∠POA=∠POC，求出∠OCB=∠OBC，推出∠CBO=∠POA，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出OP，證相似，根據(jù)相似求出BC長，再證△CBD∽△POD，得出比例式，求出BD即可．

解答：（1）猜想：BC∥OP，
證明：連接OC，
∵PA、PC與⊙O相切，
∴OA⊥PA，OC⊥PC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
在Rt△PAO和Rt△PCO中

OP=OP OA=OC

∴Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠AOP=∠COP=

1

2

∠AOC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

∠AOC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴BC∥OP；

（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO=

11+22

=

5

，
作OE⊥BC，垂足為E．則∠PAO=∠OEB=90°，BE=

1

2

BC，
∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，
∴△OAP∽△BEO，
∴

OA

OP

=

BE

OB

，
即

1

5

=

1 2 BC

1

，
解得：BC=

2 5

5

，
由（1）知BC∥OP，
∴△DCB∽△DPO，
∴

OD

OP

=

BD

BC

，即

BD+1

5

=

BD

2 5 5

，
∴BD=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．