Question

如圖，已知拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)D在第二象限．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）若∠DBA=30°，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=OC，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0），求得拋物線解析式；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進(jìn)行分類討論，分別計(jì)算；

（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+DF．如答圖3，作輔助線，將AF+DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

【解答】解：（1）拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

則A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵點(diǎn)C（0，﹣1）在拋物線y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m=．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=（x+1）（x﹣2）．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．

因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．

設(shè)P（m，n），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=m，PN=n．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：n=m+1，

∴P（m，m+1），代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=m+1，

解得：m=4或m=﹣1（與點(diǎn)A重合，舍去），

∴P（4，5）．

②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．

設(shè)P（m，n），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=m，PN=n．

tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，n=（m+1），

∴P[m，（m+1）]，代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=（m+1），

解得：m=3或m=﹣1（與點(diǎn)A重合，舍去），

∴P（3，2）．

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（3，2）；

（3）∵∠DBA=30°，

∴設(shè)直線BD的解析式為y=﹣x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣×2+b，解得b=．

故直線BD的解析式為y=﹣x+．

聯(lián)立兩解析式可得，

解得，．

則D（﹣，），

如答圖3，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．過點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG=DF．

由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線AF+FG的長度值．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t_最小=AH，AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，直線BD解析式為：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣1）+=，

∴F（﹣1，）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1，）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少．

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計(jì)算過程中，解析式中含有未知數(shù)m，增加了計(jì)算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低，需要認(rèn)真體會(huì)．