Question

如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）條件下，求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關(guān)系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線，
（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，
（3））由△EAF∽△CBA，可得出

AB

AF

=

AC

EF

，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中點，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴

AB

AF

=

AC

EF

，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴

AB

4

=

6

2AB

，解得AB=2

3

．
∴EF=4

3

，
∴AE=

EF2-AF2

=

(4 3 )2-42

=4

2

，

點評：本題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線運用三角形相似及切線性質(zhì)求解．