Question

15．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連結(jié)CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理，說(shuō)明EF、BC平行，由邊間關(guān)系2DE=BC、BE=2DE，說(shuō)明EF、BC相等，先證明四邊形BCFE是平行四邊形，再證明四邊形BCFE是菱形；
（2）由四邊形BCFE是菱形，∠BCF=120°，說(shuō)明∠ACB=60°，由AE=EC=BC=BE，得到∠A=30°，求出∠ABC的度數(shù)，在RT△ABC中，求出AB的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四邊形BCFE是菱形．
（2）解：∵四邊形BCFE是菱形，∠BCF=120°，
∴∠ACB=60°，
∵BC=BE，
∴△BEC是等邊三角形，
∴∠BEC=60°，
∵E是AC的中點(diǎn)，CE=4，
∴AE=EC=BE=4，∴∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=90°．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)和判定及勾股定理．通過(guò)中位線定理把EF與BC連接起來(lái)是解決本題的關(guān)鍵．