Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，0），點B（1，

3

），以AB為邊在AB的右邊作矩形ABCD，連技OB、BD，過D點作線段BO的垂線，垂足為F，交AB于點E．設(shè)AD=m．
（1）求m=

 

時，△OAB≌△EAD；
（2）在（1）的條件下求過O、E、D三點的拋物線的解析式；
〔3）當點F為BO的中點時，求m的值；
（4）在（3）的條件下，在直線DF上是否存在點M使△BDM是等腰三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可先假設(shè)△OAB≌△EAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出m的值．
（2）求出D，E，O的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）由點F為BO的中點，推出DO=DB，在RT△BAD中，運用勾股定理求出m的值．
（4）先求出OF=BF和∠BDF=∠ODF=30°，然后分3種情況討論，①當BM=BD=2時，②當BM=DM時，③當DM=BD=2時，分別求出點M的坐標即可．

解答：解：（1）若△OAB≌△EAD，
∴AD=AB，
∵點B（1，

3

），
∴AB=

3

，
∴當m=

3

時，△OAB≌△EAD；
故答案為：

3

．
（2）∵由（1）知△OAB≌△EAD；
∴OA=EA，
∴點E的坐標為（1，1）
∵O（0，0），D（1+

3

，0），
設(shè)y=ax²+bx+c
則

c=0 a+b+c=1 (1+ 3 )2a+(1+ 3 )b+c=0

，
解得

a=- 3 3 b= 3+ 3 3 c=0

∴y=-

3

3

x²+

3+ 3

3

x．
（3）如圖1，

∵DF⊥BO，OF=BF，
∴DO=DB，
在RT△BAD中，BD²=AD²+AB²，
∴（1+m）²=m²+（

3

）²，
解得m=1，
（4）當m=1時，OD=2OA=BD=

12+( 3 )2

=2，
∵△OBD是等邊三角形，
∴OF=BF，
∴∠BDF=∠ODF=30°，
①當BM=BD=2時，如圖2

∵∠BMD=∠BDM=∠ODF=30°，
∴BM∥DO，
∴M，B，C共線，
∴M（-1，

3

）
②如圖3，當BM=DM時，

∵∠MBD=∠MDB=30°，
∴點M與點E重合，
∴點M（1，

3

3

），
③如圖4，當DM=BD=2時，過點M作MN⊥OD垂足為N，

∵ND=MDcos∠MDN=2×

3

2

=

3

，
∴|MN|=MD•sin∠MDN=2×

1

2

=1，
∴ON=2+

3

，
∴M（2+

3

，-1）
如圖5，當DM=BD=2時，過點M作MN⊥OD垂足為N，

∵ND=MDcos∠MDN=2×

3

2

=

3

，
∴|MN|=MD•sin∠MDN=2×

1

2

=1，
∴ON=2-

3

，
∴M（2-

3

，1）
∴M（2-

3

，1）或M（2+

3

，-1）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確點M使△BDM是等腰三角形的不同種情況．再分別求出M的坐標．