Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）已知PA=2，BC=2．求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）圓的半徑為2

【解析】(1)、連接OB，由OC=OB，PA=PB，利用等邊對等角得到兩對角相等，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，等量代換得到四個角都相等，由∠ABC為直角，得到∠OBC與∠OBA互余，等量代換得到∠OBA與∠PBA互余，即OB垂直于BP，即可確定出BP為圓的切線；(2)、設(shè)圓的半徑為r，則AC=2r，在直角三角形ABC中，由AC與BC，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到三角形PAB與三角形OCB相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．

（1）證明：連接OB，∵OC=OB，AB=BP，∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，

∵AP為圓O的切線，∴∠PAB=∠C，∴∠PBA=∠OBC，∵∠ABC=90°，

∴∠OBC+∠OBA=90°，∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，則BP為圓O的切線；

（2）解：設(shè)圓的半徑為r，則AC=2r，在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，

根據(jù)勾股定理得：AB==2，∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，

∴△PAB∽△OCB， ∴，即，∴r=2，

∴r2（r2﹣1）=12， ∴r12=4，r22=﹣3（舍）， ∴r1=2，r2=﹣2（舍）， 則圓的半徑為2．