Question

如圖，在△CAB、△DEF中，CA=CB，DE=DF，∠ACB=∠EDF=90°，若把△DEF的頂點E放在AB的中點處并繞E旋轉(zhuǎn)，交直線CA、CB于M、N，連CE、MN．
                                               
（1）若△DEF繞E旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置，則CN、CM、MN、CE之間有何確定的數(shù)量關(guān)系？
（2）若△DEF繞E旋轉(zhuǎn)到如圖2位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在BC上截取BG=CM，連接EG，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，再由E為AB的中點得CE=AE=BE，則∠ACE=45°，BC=

2

CE，于是可利用“SAS”證明△MCE≌△GBE，得到EM=EG，∠1=∠2，接著證明∠4=45°，則根據(jù)“SAS”可判斷△ENM≌△ENG，得到MN=GN，所以•BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，則有CN+MN+CM=

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CE；
（2）在AC上截取AH=CN，連接EH，如圖2，易證得△AHE≌△CNE，得到EH=EN，∠AEH=∠CEN，由于∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，∠AEH+∠HCE=90°，得到∠HEC+∠CNM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，即有∠HEM=∠NEM，于是可根據(jù)“SAS”證明△EMH≌△EMN，得到MH=MN，則CH=MH-CM=MN-CM，所以AC=AH+CH=CN+MN-CM，由此得到CN+MN-CM=

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CE．

解答：解：（1）CN+MN+CM=

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CE．理由如下：
在BC上截取BG=CM，連接EG，如圖1，
∵CA=CB，DE=DF，∠ACB=∠EDF=90°，
∴△ACB和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，
∵E為AB的中點，
∴CE=AE=BE，
∴∠ACE=45°，BC=

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CE，
在△MCE和△GBE中，

CM=BG ∠MCE=∠B CE=BE

，
∴△MCE≌△GBE（SAS），
∴EM=EG，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠4=45°，
在△ENM和△ENG中，

EN=EN ∠NEM=∠NEG EM=EG

，
∴△ENM≌△ENG（SAS），
∴MN=GN，
∴BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，
∴CN+MN+CM=

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CE；
（2）（1）中的結(jié)論不成立，CN+MN-CM=

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CE．理由如下：
在AC上截取AH=CN，連接EH，如圖2，
在△AHE和△CNE中，

AH=CN ∠A=∠ECN AE=CE

，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴EH=EN，∠AEH=∠CEN，
而∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，
∠AEH+∠HCE=90°，
∴∠HEC+∠CEM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，
∴∠HEM=∠NEM，
在△EMH和△EMN中，

EH=EN ∠HEM=∠NEM EM=EM

，
∴△EMH≌△EMN（SAS），
∴MH=MN，
∴CH=MH-CM=MN-CM，
∴AC=AH+CH=CN+MN-CM，
∴CN+MN-CM=

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CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．