Question

如圖2 - 50所示，拋物線y＝－(x+1)²+m(x+1)(m為常數(shù))與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在第一象限，△AOC的面積為1.5，點(diǎn)D是線段AM上一個(gè)動點(diǎn)，在矩形DEFG中，點(diǎn)G，F(xiàn)在x軸上，點(diǎn)E在MB上．

    (1)求拋物線的解析式；

    (2)當(dāng)DE＝1時(shí)，求矩形DEFG的面積；

(3)矩形DEFG的面積是否存在最大值?如果存在，請求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)由y＝－(x+1)²+m(x+1)，得A(－1，0)，C(0，m－1)，則OA=l，OC＝m－1．∵S_△OAC=1.5，∴×1×(m-1)=1.5，∴m＝4，∴y=－x²+2x+3．(2)由y=－(x－1)²+4，令y=0，得－(x－1)²+4=0，解得x₁＝－1，x₂＝3，∴A(－l，0)，B(3，0)，M(1，4)，∴直線AM的解析式為y=2x+2．由點(diǎn)D在線段AM上，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,2a+2)，－1<a<1．當(dāng)DE＝1時(shí)，由拋物線對稱性可知1－a=0.5，∴a＝0.5，2a+2＝3，∴S_矩形DEFG＝DE·DG＝1×3＝3．  (3)S_矩形DEFG存在最大值．設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a，2a+2)，－l<a<l，由拋物線對稱性可知DE＝2(1－a)，DG=2a+2．∴S_矩形DEFG＝DE·DG=2(1－a)·(2a+2)＝－4a²+4，而－1<a<l，∴當(dāng)a＝0時(shí)，S取得最大值為4，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)．