Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時運(yùn)動，相遇后同時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t=

 

時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，當(dāng)ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇一定是在P由A到B的過程中，利用方程即可求得；
（2）分Q從C到A的時間是3秒，P從B到C的時間是3秒，則可以分當(dāng)0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，和當(dāng)2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC兩種情況進(jìn)行討論求得t的值；
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，P一定在AC上，得出PC=t-3，BQ=2t-9，求出AQ，再根據(jù)（2）可得，△PCQ中，PC邊上的高是

3

5

（14-2t），最后根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4，
則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時間是4.5秒．此時P運(yùn)動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5-4.5=7.5．
根據(jù)題意得：
（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，
解得：t=7．
答：當(dāng)t=7時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
故答案為：7．

（2）Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒，
則當(dāng)0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，
即3-t=2t，
解得：t=1．
當(dāng)2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH=

1

2

PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，則QH=

3

5

AQ=

3

5

（2t-4），
∵PC=BC-BP=3-t，
∴

1

2

×

3

5

（2t-4）=3-t，
解得：t=

39

17

；
則當(dāng)t=1或t=

39

17

時△PCQ為等腰三角形；

（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，P一定在AC上，則PC=t-3，BQ=2t-9，
即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：

3

5

（14-2t），
故s=

1

2

（2t-9）×

3

5

（14-2t）=

3

5

（-t²+10t-2）=-

3

5

t²+6t-

6

5

．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、以及方程的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是本題的關(guān)鍵．