Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，OA=4，OC=5，正比例函數(shù)y=2x的圖像交AB于點(diǎn)D，連接DC，動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t s．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若PQ∥OD，求此時(shí)t的值？

（3）是否存在時(shí)刻某個(gè)t，使S△DOP=S△PCQ？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△DPQ是以DQ為腰的等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）D（2，4）；（2）；（3）存在，t的值為2 ；（4）當(dāng)或或時(shí)，△DPQ是一個(gè)以DQ為腰的等腰三角形

【解析】

（1）由題意得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，求出y=2x中y=4時(shí)x的值即可得；

（2）由PQ∥OD證△CPQ∽△COD，得，即，解之可得；

（3）分別過點(diǎn)Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC與點(diǎn)E、F，對于直線y=2x，令y=4求出x的值，確定出D坐標(biāo)，進(jìn)而求出BD，BC的長，利用勾股定理求出CD的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形CQE與三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面積，再表示出三角形ODP面積，依據(jù)S△DOP=S△PCQ列出關(guān)于t的方程，解之可得；

（4）由三角形CQE與三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，進(jìn)而利用勾股定理表示出PQ2，DP2，以及DQ，分兩種情況考慮：①當(dāng)DQ=DP；②當(dāng)DQ=PQ，求出t的值即可．

解：（1）∵OA=4

∴把代入得

∴D（2，4）．

（2）在矩形OABC中，OA=4，OC=5

∴AB=OC=5，BC=OA=4

∴BD=3，DC=5

由題意知：DQ=PC=t

∴OP=CQ=5t

∵PQ∥OD

∴

∴

∴ ．

（3）分別過點(diǎn)Q、D作QE⊥OC， DF⊥OC交OC與點(diǎn)E、F

則DF=OA=4

∴DF∥QE

∴△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

∵ S△DOP=S△PCQ

∴

∴，

當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去

∴t的值為2．

（4）∵△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

①當(dāng)時(shí)，，

解之得：

②當(dāng)時(shí)，

解之得：

答：當(dāng)或或時(shí)，△DPQ是一個(gè)以DQ為腰的等腰三角形．