【題目】已知⊙O中,AC為直徑,MA、MB分別切⊙O于點A、B.
(Ⅰ)如圖①,若∠BAC=250,求∠AMB的大;
(Ⅱ)如圖②,過點B作BD⊥AC于點E,交⊙O于點D,若BD=MA,求∠AMB的大小.
【答案】(Ⅰ)50°(Ⅱ)60°
【解析】解:(Ⅰ)∵MA切⊙O于點A,∴∠MAC=90°。
又∠BAC=25°,∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°。
∵MA、MB分別切⊙O于點A、B,∴MA=MB。
∴∠MAB=∠MBA。
∴∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=50°。
(Ⅱ)如圖,連接AD、AB,
∵MA⊥AC,又BD⊥AC,
∴BD∥MA。
又∵BD=MA,∴四邊形MADB是平行四邊形。
又∵MA=MB,∴四邊形MADB是菱形!AD=BD。
又∵AC為直徑,AC⊥BD,
∴ AB = AD 。
∴AB=AD=BD!唷ABD是等邊三角形!唷D=60°。
∴在菱形MADB中,∠AMB=∠D=60°
(Ⅰ)由AM與圓O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到AM垂直于AC,可得出∠MAC為直角,再由∠BAC的度數(shù),用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度數(shù),又MA,MB為圓O的切線,根據(jù)切線長定理得到MA=MB,利用等邊對等角可得出∠MAB=∠MBA,由底角的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠AMB的度數(shù)。
(Ⅱ)連接AB,AD,由直徑AC垂直于弦BD,根據(jù)垂徑定理得到A為優(yōu)弧BAD 的中點,根據(jù)等弧對等弦可得出AB=AD,由AM為圓O的切線,得到AM垂直于AC,又BD垂直于AC,根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行可得出BD平行于AM,又BD=AM,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADBM為平行四邊形,再由鄰邊MA=MB,得到ADBM為菱形,根據(jù)菱形的鄰邊相等可得出BD=AD,進而得到AB=AD=BD,即△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠D為60°,再利用菱形的對角相等可得出∠AMB=∠D=60°。
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【題目】在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=8,現(xiàn)將紙片折疊,使點D與點B重合,折痕為EF,連接DF.
(1)說明△BEF是等腰三角形;
(2)求折痕EF的長.
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【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況,隨機調(diào)查了該校部分學(xué)生的年齡,整理數(shù)據(jù)并繪制如下不完整的統(tǒng)計圖.依據(jù)以下信息解答問題:
(1)此次共調(diào)查了多少人?
(2)求“年齡歲”在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.
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【題目】如圖是一個長方體,它的長、寬、高分別為、、.和是這個長方體上兩個相對的頂點,點處有一只螞蟻,想到點處去吃可口的食物,則螞蟻沿著長方體表面爬行到點的最短路程為__________.
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【題目】綜合與探究:
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖1,點D是等邊△ABC邊BA上一動點(點D與點B不重合),連結(jié)DC,以DC為邊在CD上方作等邊△DCE,連結(jié)AE.你能發(fā)現(xiàn)線段AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎? 證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
(2)類比猜想:如圖2,當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其余條件不變,猜想:(1)中的結(jié)論是否成立,不用說明理由.
(3)拓展探究:如圖3,當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時(點D與點B不重合),連結(jié) DC,以DC為邊在CD上方和下方分別作等邊△DCE和等邊△DCE′,連結(jié)AE、BE′,探究:AE、BE′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,BC=6,直線MN∥BC,且分別交邊AB,AC于點M,N,已知直線MN將△ABC分為面積相等的兩部分.如果將線段AM繞著點A旋轉(zhuǎn),使點M落在邊BC上的點D處,那么BD=________.
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【題目】如圖,已知A(﹣4,),B(﹣1,m)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=圖象的兩個交點,AC⊥x軸于點C,BD⊥y軸于點D.
(1)求m的值及一次函數(shù)解析式;
(2)P是線段AB上的一點,連接PC、PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點P坐標.
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【題目】如圖,某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為63.4°,沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一條直線上,山坡坡度i=5:12.
(1)求此人所在位置點P的鉛直高度.(結(jié)果精確到0.1米)
(2)求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程(結(jié)果精確到0.1米)
(測傾器的高度忽略不計,參考數(shù)據(jù):tan53°≈,tan63.5°≈2)
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